Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CC₁的中点，求异面直线AE和BF所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：

分析：利用异面直线所成角的定义，将直线BF平移到EC₁，则∠AEC₁为异面直线AE和BF所成角，在△AEC₁中，求出三边长，利用余弦定理能求出结果．

解答： 解：连结EC₁，则EC₁∥BF，
∴∠AEC₁为异面直线AE和BF所成角（或所成角的补角），
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
在△AEC₁中，AE=EC₁=

5

2

a，AC₁=

3

a，
∴cos∠AEC₁=

2×( 5 2 a)2-( 3 a)2

2× 5 2 a× 5 2 a

=-

1

5

．
∴异面直线AE和BF所成角的余弦值为

1

5

．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．