Question

【题目】设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.

Answer 1

【答案】(1) .(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证，先设 P（m，n），则需证，即根据条件可得，而，代入即得.

试题解析：解：（1）设P（x，y），M（）,则N（），

由得.

因为M（）在C上，所以.

因此点P的轨迹为.

由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则

，

.

由得-3m-+tn-=1，学&科网又由（1）知，故

3+3m-tn=0.

所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.