Question

讨论函数f(x)=

ax

x2-1

(-1＜x＜1)的单调性并证明．

Answer 1

分析：先在定义域上取值，再作差、变形，变形彻底后根据式子的特点，对a进行分类讨论判断符号、下结论．

解答：证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f(x1)-f(x2)=

ax1

x 2 1 -1

-

ax2

x 2 2 -1

=

a(x1x2+1)(x2-x1)

( x 2 2 -1)( x 2 1 -1)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，

x

2 1

-1＜0，

x

2 2

-1＜0，
∴

(x1x2+1)(x2-x1)

( x 2 2 -1)( x 2 1 -1)

＞0，
∴当a＞0时，f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（-1，1）是减函数，
当a＜0时，f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-1，1）上是增函数，
当a=0时，f（x）=0，∴f（x）在（-1，1）上不具有单调性．

点评：本题考查了函数单调性的证明方法：定义法，关键是变形一定彻底，直到能明显的判断出符号为止．