Question

对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，例如：[3.05]=3，[

5

3

]=1，则函数f（x）=[x]称为高斯函数或取整函数，若an=f(

n

3

)(n∈N*)，S_n为数列{a_n}的前n项和，则S₃₀=

145

．

Answer 1

分析：由题意可得，a₁=a₂=0，a₃=a₄=a₅=1，a₆=a₇=a₈=2，a₉=a₁₀=a₁₁=3，a₁₂=a₁₃=a₁₄=4，a₁₅=a₁₆=a₁₇=5，a₁₈=a₁₉=a₂₀=6，a₂₁=a₂₂=a₂₃=7，a₂₄=a₂₅=a₂₆=8，a₂₇=a₂₈=a₂₉=9，a₃₀=10．由此能求出S₃₀．

解答：解：由题意可得，a1=[

1

3

] =0，a2=[

2

3

] =0，a₃=a₄=a₅=1，
a₆=a₇=a₈=2，a₉=a₁₀=a₁₁=3，a₁₂=a₁₃=a₁₄=4，a₁₅=a₁₆=a₁₇=5，a₁₈=a₁₉=a₂₀=6，
a₂₁=a₂₂=a₂₃=7，a₂₄=a₂₅=a₂₆=8，a₂₇=a₂₈=a₂₉=9，a₃₀=10．
∴S₃₀=0×2+3×（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+10=145．
故答案为：145．

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉定义，将问题转化为已知等差数列的求和问题去解决