Question

（2006•西城区一模）对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为高斯函数或取整函数．计算f（-0.3）+f（1）+f（1.3）=

1

；若an=f(

n

3

)，n∈N*，Sn为数列{a_n}的前n项和，则S_3n=

1

2

(3n2-n)

．

Answer 1

分析：先根据所给的新定义推导数列的几项，从这几项中看出数列的项的特点，找出规律，得到最终结果为S_3n=3[0+1+2++（n-1）]+n，化简即可．

解答：解：∵[x]为不大于x的最大整数，f（x）=[x]
∴f（-0.3）+f（1）+f（1.3）=-1+1+1=1
：∵f（x）=[x]为高斯实数或取实数，若an=f(

n

3

)，n∈N*，
∴a1=f(

1

3

)=[

1

3

]=0，
a2=f(

2

3

)=[

2

3

]=0，
a3=f(

3

3

)=[

3

3

]=1，
a4=f(

4

3

)=[

4

3

]=1，
a5=f(

5

3

)=[

5

3

]=1，
a6=f(

6

3

)=[

6

3

]=2，
a7=f(

7

3

)=[

7

3

]=2，
…
a3n=f(

3n

3

)=[

3n

3

]=n，
∴S_3n=3[0+1+2+…+（n-1）]+n=

1

2

(3n2-n)（n∈N^*）．
故答案为：1，

1

2

(3n2-n)

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的推导与归纳，同时，又是新定义题，应熟悉定义，将问题转化为已知去解决，属于基础题．