Question

已知函数.

（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；

（3）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）当时.函数f(x)是一个对数函数和分式的和的形式.通过求导可以求出函数的有极小值，但没极大值.

（2）当时.通过求导可得导函数的两个零点，在定义域上分别对两个零点的大小讨论分类.从而得到函数的单调区间.

（3）由对任意的恒有成立.首先要求出函数f(x)在[1,3]上且的最大值.从而对于任意使得恒成立即可.再通过分离变量即可得到结论.本题前两小题较为基础但第二小题的分类做到清晰不容易，第三小题难度较大.

试题解析：（1）当时，      1分

由,解得.                                 2分

∴在上是减函数，在上是增函数.                3分

∴的极小值为，无极大值.                    4分

（2）.   6分

①当时，在和上是减函数，在上是增函数；   7分

②当时，在上是减函数；                       8分

③当时，在和上是减函数，在上是增函数.     9分

（3）当时，由（2）可知在上是减函数，

∴.               10分

由对任意的恒成立，

∴                         11分

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，                          12分

由于当时，，∴.            14分

考点：1.函数的极值问题.2.含参函数的单调性.3.不等式的恒成立问题.4.函数的最值问题.