Question

已知函数,其中    

（1）      当满足什么条件时,取得极值?

（2）      已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.

Answer 1

解析:  (1)由已知得,令,得,

要取得极值,方程必须有解,

所以△,即,   此时方程的根为

,,

所以  

当时,

x	(-∞,x1)	x 1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f’(x)	＋	0	－	0	＋
f (x)	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

所以在x ₁, x₂处分别取得极大值和极小值.

当时,

x	(-∞,x2)	x 2	(x2,x1)	x1	(x1,+∞)
f’(x)	－	0	＋	0	－
f (x)	减函数	极小值	增函数	极大值	减函数

所以在x ₁, x₂处分别取得极大值和极小值.

综上,当满足时, 取得极值.   

(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.

即恒成立,  所以

设,,

令得或(舍去), 

当时,,当时,单调增函数;

当时,单调减函数,

所以当时,取得最大,最大值为.

所以

当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以

综上,当时, ;    当时,    

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.