Question

【题目】已知数列的前n项和为且，其中为常数.

（1）求的值及数列的通项公式；

（2）记，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）将代入已知等式即可求得的值；利用作差法即可求得数列的通项公式；（2）由（1）求得及，构造新函数，进而可得其最大项的值，从而可得k的取值范围.

（1）由题意，数列满足，

令，可得，

又由，解得.

因为，则

两式相减，可得，整理得，

所以数列是以首项为4，公比为2的等比数列，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）可得，

所以，

因为恒成立，即恒成立，

即对任意恒成立，

设，则，

当时，，数列单调递减；

当时，，数列单调递增，

又因为，所以数列最大项的值为，

所以，即k的取值范围为.