Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的弦长为3，直线与圆相切，且与椭圆交于，两点，为椭圆的右顶点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）用，分别表示和的面积，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）6

【解析】

（Ⅰ）利用条件，求得，，的值，从而得到椭圆的标准方程；

（Ⅱ）先分斜率存在和不存在两种情况讨论直线方程，当斜率不存在时，求出的值，当斜率存在时，设出直线方程，利用直线与圆相切，得到直线中，的等量关系，然后将直线方程与椭圆方程进行联立，通过消元化简，得到根与系数的关系，求得直线与椭圆相交所得弦的长度及点到直线的距离，然后利用面积公式并通过换元，结合对勾函数的性质求得最小值．

解：（Ⅰ）由已知得，，结合，得，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）当斜率不存在时，，得．

当斜率存在时，设直线的方程为，，

由与圆相切，得，整理得（*）

将的方程与椭圆的方程联立得

所以，．

则

设为到直线的距离，则

所以

将（*）式代入得

令

所以．

综上，的最大值为6．