Question

【题目】已知数列满足，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）若，记数列的前项和为，证明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．

【解析】

（Ⅰ）利用导数证明出不等式对任意的恒成立，然后利用数学归纳法可证得；

（Ⅱ）利用分析法，得出，然后构造函数，利用导数证明出在区间上单调递增，进而可得出，即可证得结论；

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可推导出，再由可得出，再利用放缩法结合等比数列的求和公式证明结论．

（Ⅰ）设，其中，，

所以，函数在区间上单调递增，则，则.

再用数学归纳法证明.

①因为，所以，由知；

②假设当时，，

则当时，因为，所以，

由得，

综上由①②知对一切恒成立；

（Ⅱ）要证，即证，其中，

令，则，

所以，函数在区间上单调递增，从而，

即，得证；

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，.

因为当时，，

又，所以，所以，

构造数列，则，即，

所以，数列从第项开始单调递减，此时，，则，

则，可得，

从而，

又时，，所以得证．