Question

【题目】在矩形ABCD中，，，沿矩形对角线BD将折起形成四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD中，当时，；②四面体ABCD的体积的最大值为；③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为；④四面体ABCD的外接球的体积为定值.其中所有正确结论的编号为( )

A.①④B.①②C.①②④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

对四个结论逐一分析判断，

对于①，利用翻折前后这个条件不变，易得平面，从而；

对于②，当平面平面时，四面体ABCD的体积最大，易得出体积；

对于③，当平面平面时，BC与平面ABD所成的角最大，即，计算其正弦值可得出结果；

对于④，在翻折的过程中，BD的中点到四面体四个顶点的距离均相等，所以外接球的直径恒为BD，体积恒为定值.

如图，当时，∵，∴平面，

∵平面，∴，即①正确；

当平面平面时，四面体ABCD的体积最大，最大值为，即②正确；

当平面平面时，BC与平面ABD所成的角最大，为，而，

∴BC与平面ABD所成角一定小于，即③错误；

在翻折的过程中，和始终是直角三角形，斜边都是BD，其外接球的球心永远是BD的中点，外接球的直径为BD，

∴四面体ABCD的外接球的体积不变，即④正确.

故正确的有①②④.

故选：C.