Question

【题目】某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和．

（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求的最小值；

（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值．

①已知，生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？

②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．

Answer 1

【答案】（1）0.95；（2）①生产线挽回的平均损失较多；②分布列见解析，16200元.

【解析】

（1）根据独立事件同时发生以及对立事件的概率，求出产品至少有一件合格的概率，根据已知建立的不等量关系，即可求解；

（2）①根据（1）的结论求出生产线不合格品率，进而求出两条生产线的不合格品数，即可求出结论；

②的可能取值为6，8，10，根据频数分布图，求出可能值的频率，得到的分布列，根据期望公式求解即可.

（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，从，生产线上抽检到合格品分别为事件，，由题知，，互为独立事件，所以，，

，

令，解得，故的最小值．

（2）由（1）可知，，生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9，

不合格品率分别为0.05和0.1．

①由题知，生产线上随机抽检1000件产品，

估计不合格品（件），

可挽回损失为（元），

生产线上随机抽检1000件产品，

估计不合格品（件），

可挽回损失为（元）．

由此，估计生产线挽回的平均损失较多．

②由题知，的所有可能取值为6，8，10，

用样本的频率分布估计总体分布，则

，，

，

所以的分布列为

	6	8	10

所以（元）．

故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为（元）．