Question

【题目】若函数在定义域内的某个区间上是增函数，且在上也是增函数，则称是上的“完美增函数”.已知，.

（1）判断函数是否为区间上的“完美增函数”；

（2）若函数是区间上的“完美增函数”，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）不是；（2）

【解析】

(1)可根据已知条件分别求出和在区间是不是单调递增函数，再根据给的定义来判断是否为“完美增函数”；

(2)利用函数是区间上的“完美增函数”，可得到和在区间均为增函数，从而可得到实数的最大值.

(1)由，则求导得，

所以在上是增函数；

又，则求导得，

当时，不恒成立，即在上不是增函数.

所以函数不是区间上的“完美增函数”.

（2）因为函数是区间上的“完美增函数”，

所以和在区间均为增函数，

由，则求导得，

即在区间上单调递增.

又，求导得，

若，则，解得，

即当时，恒成立，在上单调递增.

于是实数的最大值为.