Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）设，当时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先求导函数，求出f'（x）＝0的根，然后比较根与区间的关系，确定a的范围，根据f'（x）＞0的解集为增区间，f'（x）＜0的解集为减区间求解即可；

（2）先证得恒成立，再将h(x)通过进行放缩，得到，构造函数L(x)，求导分析单调性、极值，从而求得最小值，可证得结论.

（1） ， ，

令，得.

当时，，当时，恒成立，

在上的单调递增；

∴当时，，

∴当时，， 在上单调递减；

∴当时，， 在上单调递增.

综上，当时， 在上的单调递增；

当时， 在上单调递减，在上单调递增.

（2）令，得， ，令，得.

当时，， 在上单调递减，

当时，， 在上单调递增；

，即.

当时，

，

当且仅当时取等号，

令，则.

由得，由得，

， ，

易知此不等式中两等号成立的条件不同，