Question

3．已知函数f（x）=alnx+$\frac{2}{x+1}$（a∈R），
（1）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；
（2）若f（x）存在单调递增区间，求a的取值范围；
（3）求证：ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$．

Answer 1

分析 （1）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；
（2）求h′（x），可得 f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+2（a-1）x+a}{x（x+1）^{2}}$，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax²+2（a-1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；
（3）（法一）根据（1）的结论，当x＞1时，lnx+$\frac{2}{x+1}$＞1⇒lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$，再构造函数，
令x=$\frac{k+1}{k}$，有ln$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{1}{2k+1}$，从而ln（n+1）=$\sum_{k=1}^{n}$ln$\frac{k+1}{k}$＞$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{2k+1}$，问题可解决；
（法二）可用数学归纳法予以证明．注意解题步骤，需用好归纳假设．

解答 解：（1）f（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$，定义域为（0，+∞）．
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）^{2}}$＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
当x≥1时，f（x）≥f（1）=1，
f（x）在x∈[1，+∞）最小值为1； 
（2）∵f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+2（a-1）x+a}{x（x+1）^{2}}$，
∵若f（x）存在单调递减区间，
∴f′（x）＜0有正数解．即ax²+2（a-1）x+a＜0有x＞0的解． 
①当a=0时，明显成立．
②当a＜0时，y=ax²+2（a-1）x+a为开口向下的抛物线，
ax²+2（a-1）x+a＜0总有x＞0的解；
③当a＞0时，y=ax²+2（a-1）x+a开口向上的抛物线，
即方程ax²+2（a-1）x+a=0有正根．
因为x₁x₂=1＞0，
所以方程ax²+2（a-1）x+a=0有两正根．
$\left\{\begin{array}{l}{△=4（a-1）^{2}-4{a}^{2}＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2（1-a）}{a}＞0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．
综合①②③知：a＜$\frac{1}{2}$．  
（3）（法一）根据（1）的结论，当x＞1时，lnx+$\frac{2}{x+1}$＞1，即lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$．
令x=$\frac{k+1}{k}$，则有ln$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{1}{2k+1}$，
∴$\sum_{k=1}^{n}$ln$\frac{k+1}{k}$＞$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{2k+1}$．
∵ln（n+1）=$\sum_{k=1}^{n}$ln$\frac{k+1}{k}$，
∴ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n+1}$．   
（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．
∵3ln2=ln8＞1，∴ln2＞$\frac{1}{3}$，即n=1时命题成立．
设当n=k时，命题成立，即 ln（k+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2k+1}$．
∴n=k+1时，ln（n+1）=ln（k+2）=ln（k+1）+ln$\frac{k+2}{k+1}$＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2k+1}$+ln$\frac{k+2}{k+1}$．
根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，lnx+$\frac{2}{x+1}$＞1，即lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$．
令x=$\frac{k+2}{k+1}$，则有ln$\frac{k+2}{k+1}$＞$\frac{1}{2k+3}$，
则有ln（k+2）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+3}$，即n=k+1时命题也成立．
综上可得，ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$成立．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（2）中通过求h′（x）后，转化为：ax²+2（a-1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（3）中法一通过构造函数x=$\frac{k+1}{k}$，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．