Question

在全国高中数学联赛第二卷中只有三道题，已知(1)某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二道题的人数是解出第三题的人数多2倍；(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1；(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，问共有多少学生只解出第二题？

Answer 1

答案：6
解析：

题目的条件较多，利用图示方法即没有第一、二、三道题的学生的集合为A、B、C、利用三个圆分别表示，如图所示，则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合，这样得到七个部分，其人数分别用a，b，c，d，e，f，g，表示，然后，根据已知条件列出方程组求出b． 根据已知条件(1)、(2)、(3)、(4)可得 ②代入①得a＋2b－c＋d＋e＋g=25， ③代入⑤得2b－c＋2d＋2e＋2g=24， ④代入⑤得3b＋d＋e＋g＝25， ⑦×2－⑥得4b＋c=26． 由于c≥0，所以． 利用②、⑧消去c得f=b－2(26－4b)=9b－52． 因为f≥0，所以． 则有b=6，即只解出第二题的学生有6人． 本题条件很多，但不用集合来表示又不易列出方程组将集合分成若干小块，为列方程提供了可能性．