Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中点．
（1）求证：平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）若，求二面角E-BC₁-C的大小．

Answer 1

（1）证明：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中点，∴BE⊥AC
∵侧棱AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BE
∵AA₁∩AC=A，∴BE⊥平面ACC₁A₁，
∵BE?平面BEC₁，∴平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）解：过点C作CH⊥C₁E于点H，则CH⊥平面BEC₁，

过H作HG⊥BC₁于G，连接CG，由三垂线定理得CG⊥BC₁，故∠CGH为二面角E-BC₁-C的平面角
∵，∴当AA₁=2a时，AB=2a时，∴C₁E=a，∴CH==
∵BC₁=2a，∴CG==
∴在直角△CGH中，sin∠CGH==
根据图形可得，二面角E-BC₁-C的平面角为45°
分析：（1）先证明BE⊥平面ACC₁A₁，再利用面面垂直的判定定理，可证平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）作出二面角E-BC₁-C的平面角，再利用三角函数，即可求得结论．
点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出面面角是关键．