Question

如图所示，正四棱锥P－ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为，为AC，BD交点．

(1)求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小;

(2)若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值;

(3)试在侧面PAD上寻找一点F，使EF⊥侧面PBC，确定点F的位置，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)取AD中点M，连MO、PM，则∠PMO为二面角P－AD－C的平面角， 　　∴PO⊥面ABCD，∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角， 　　∴tan∠PAO＝．设AB＝a，则AO＝，PO＝，MO＝， 　　∴tan∠PMO＝∴∠PMO＝60． 　　(2)连OE，∵OE∥PD，∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角， 　　． 　　∵OE＝，∴tan∠AEO＝． 　　(3)延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG， 　　 　　， 　　取AM中点F，∵EG∥MF，MF＝MA＝EG，∴EF∥MG，EF⊥平面PBC， 　　F点是AD上的四等分点，即．