Question

【题目】若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．
（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；
（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；
（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证： 比 接近0．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为2x比1接近3，所以|2x﹣3|＜|1﹣3|，

即|2x﹣3|＜2，解得 ＜x＜ ，

所以，x的取值范围为：（ ， ）

（2）解：分类讨论如下：

①当x2﹣2x比x接近于0时，|x2﹣2x|＜|x|，

解得，x∈（1，3），

②当x比x2﹣2x接近于0时，|x2﹣2x|＞|x|，

解得，x∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（3，+∞），

所以，f（x）= ，

画出f（x）的图象，如下图，

因为方程f（x）=a有两个实根，根据函数图象得，

a∈（﹣1，0）∪（0，1）

（3）解：对两式 ， 平方作差得，

△=（ ）2﹣（ ）2

= = ，

因为a，b∈R，m＞0且a≠b，所以，△＞0恒成立，

所以， ＞| |，

即 比 接近0．

【解析】（1）直接根据定义，问题等价为|2x﹣3|＜|1﹣3|，解出即可；（2）先求出函数f（x）的解析式并画出函数图象，再运用数形结合的方法，求a的取值范围；（3）直接运用作差法比较两式的大小．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．