用数学归纳法证明:n为正偶数时.xn-yn能被x+y整除. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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用数学归纳法证明：

n为正偶数时，xⁿ－yⁿ能被x+y整除.

证明：（1）当n=2时，x²－y²=（x+y）（x－y），即x²－y²能被x+y整除，显然命题成立.

（2）假设n=2k（k∈N^*）时，命题成立，即x^2k－y^2k能被x+y整除.

当n=2k+2时，x^2k+2－y^2k+2=x²·x^2k－y²·y^2k=x²（x^2k－y^2k）+y^2k（x²－y²）

=x²（x^2k－y^2k）+y^2k（x+y）（x－y）.

∵x²（x^2k－y^2k）、y^2k（x+y）（x－y）都能被x+y整除，

∴x^2k+2－y^2k+2能被x+y整除，即n=2k+2时命题成立.

由（1）（2）知原命题对一切正偶数均成立.

点评：因证明的命题对所有正偶数成立，所以归纳假设中采用了n=2k（k∈N^*）与它相邻的是n=2k+2.要注意体会n=2k+2时的变形方法.

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A、2k+1

B、2（2k+1）

C、

2k+1

k+1

D、

2k+3

k+1

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2、用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xⁿ+yⁿ能被x+y整除”的第二步是（　　）

A、假使n=2k+1时正确，再推n=2k+3正确（k∈N^*）

B、假使n=2k-1时正确，再推n=2k+1正确（k∈N^*）

C、假使n=k时正确，再推n=k+1正确（k∈N^*）

D、假使n≤k（k≥1）时正确，再推n=k+2时正确（k∈N^*）

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A、k个数的积

B、（k+1）个数的积

C、2k个数的积

D、（2k+1）个数的积

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．

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（2009•济宁一模）给出下列四个命题：
①命题：“设a，b∈R，若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“设a，b∈R，若ab≠0，则a≠0且b≠0”；
②将函数y=

sin（2x+

）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移

个单位长度，得到函数y=

cosx的图象；
③用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3…（2n-1）（n∈N^*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1）；
④函数f（x）=e^x-x-1（x∈R）有两个零点．
其中所有真命题的序号是

①③

．

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