Question

在双曲线

x2

13

-

y2

12

=-1一支上有不同三点A(x1，y1)，B(

26

，6)，C(x2，y2)与焦点F（0，5）的距离成等差数列．
（1）求y₁+y₂的值；
（2）求证：线段AC的中垂线恒过一定点，并求该点的坐标．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由双曲线的焦半径公式可知|AF|=ey₁-2

3

，|BF|=6e-2

3

，|CF|=ey₂-2

3

，再由|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，可求出y₁+y₂的值；
（2）借助点差法求出AC的垂直平分线方程为y-6=-

13

x1+x2

（x-

x1+x2

2

），由此可以得到不论

13

x1+x2

取何值，都有该直线过点（0，

25

2

）．

解答： 解：（1）∵双曲线

x2

13

-

y2

12

=-1，
∴双曲线标准方程为：

y2

12

-

x2

13

=1，
由题设知，A、B、C在双曲线的同一支上，且y₁，y₂均大于0，
∴由双曲线的焦半径公式可知|AF|=ey₁-2

3

，|BF|=6e-2

3

，|CF|=ey₂-2

3

，
|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，
∴6e=

ey1+ey2

2

，
∴y₁+y₂=12，
（2）∵点A、C在双曲线上，
∴设点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂），则
13y₁²-12x₁²=156，①
13y₂²-12x₂²=156，②，
①-②得
k_AB=

12

13

•

x1+x2

y1+y2

=

x1+x2

13

，
∴直线AC的垂直平分线的方程为：y-6=-

13

x1+x2

（x-

x1+x2

2

），
∴y=-

13x

x1+x2

+

25

2

，
∴不论

13

x1+x2

取何值，都有该直线过点（0，

25

2

）．

点评：本题重点考查了双曲线的概念、几何性质、直线与双曲线的位置关系等知识，属于中档题．