Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 g（x）=ln|x|的图象经过点（1，0），数形结合可得 f（1）=$\frac{1}{2}$•1²+m＜0，由此解得m的值．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+m的图象（图中黑色部分）与函数g（x）=ln|x|的图象（图中红色部分）有四个交点，
再根据这两个函数都是偶函数，它们的图象关于y轴对称，故它们的图象在（0，+∞）上有两个交点．
又g（x）=ln|x|的图象经过点（1，0），数形结合可得 f（1）=$\frac{1}{2}$•1²+m＜0，解得m＜$\frac{1}{2}$，
故答案为：（-∞，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，属于中档题．