Question

18．已知函数f（x）=alnx-x²，（a∈R）
（1）当a=2时，求函数y=f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值；
（2）若存在x∈[1，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y=f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值．
（2）存在x∈[1，+∞）使得f（x）≥0成立，则a≥$\frac{{x}^{2}}{lnx}$．求出右边的最小值，即可得出结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=alnx-x² ，可得当a=2时，f′（x）=$\frac{2-2{x}^{2}}{x}$，
故函数y=f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]是增函数，在[1，2]是减函数，
所以f（x）_max=f（1）=-1．  
（2）存在x∈[1，+∞）使得f（x）≥0成立，则a≥$\frac{{x}^{2}}{lnx}$．
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，g′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，
∴1＜x＜$\sqrt{e}$时，g′（x）＜0，x＞$\sqrt{e}$时，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=2e，
∴a≥2e．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，属于中档题．