Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$log_a（ax）•log_a（a²x）（a＞0），且a≠1）
（I）若a=2时，求f（x）的单调区间
（2）设x∈[2，8]时，f（x）的最大值是1，最小值是-$\frac{1}{8}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，f（x）=1+$\frac{3}{2}$log₂x+$\frac{1}{2}$（log₂x）²，令t=log₂x，根据二次函数的性质即可求得f（x）的单调区间；
（2）由题设条件，推导出=$\frac{1}{2}$（log_ax+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，设t=log_ax，则f（t）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，利用二次函数的性质能求出结果．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=$\frac{1}{2}$log₂2x•log₂4x=$\frac{1}{2}$（1+log₂x）（2+log₂x）=1+$\frac{3}{2}$log₂x+$\frac{1}{2}$（log₂x）²，（x＞0）
设t=log₂x，f（t）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+1，
由二次函数性质可知，当t∈（-∞，-$\frac{3}{2}$），函数单调递减，当t∈（$\frac{3}{2}$，+∞）时，函数单调递增，
∴当log₂x=-$\frac{3}{2}$，即x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴f（x）的单调递增区间（-∞，$\frac{\sqrt{2}}{4}$），单调递减区间为（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，+∞）；
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$log_a（ax）•log_a（a²x），
=$\frac{1}{2}$（1+log_ax）（2+log_ax），
=1+$\frac{3}{2}$log_ax+$\frac{1}{2}$（log_ax）²，
=$\frac{1}{2}$（log_ax+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
令t=log_ax，
则f（t）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
x∈[2，8]时，f（x）的最大值是1，最小值是-$\frac{1}{8}$，
∴log_a8≤log_a8≤log_ax＜0，
0＜a＜1，log_a8≤t≤log_ax，
∴当x=8时f（x）取最大值f（8）=$\frac{1}{2}$（8+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$=1，
解得：log_a8=-3或log_a8=0（舍），
∴a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查对数的运算性质，一元二次函数的性质，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．