Question

8．已知曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求曲线C₁与C₂交点的坐标；
（Ⅱ）A、B两点分别在曲线C₁与C₂上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲线C₁与C₂的普通方程，即可求曲线C₁与C₂交点的坐标；
（Ⅱ）由平面几何知识可知，当A，C₁，C₂，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时|AB|=2$\sqrt{2}$+4，O到AB的距离为$\sqrt{2}$，即可求△OAB的面积．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），得曲线C₁的普通方程为（x+2）²+y²=4；
由曲线C₂的极坐标方程是ρ=4sinθ，得曲线C₂的直角方程是x²+y²=4y，
把两式作差得y=-x，
代入x²+y²=4y，得到交点坐标为（0，0），（-2，2）；
（Ⅱ）由平面几何知识可知，当A，C₁，C₂，B依次排列且共线时，|AB|最大，
此时|AB|=2$\sqrt{2}$+4，O到AB的距离为$\sqrt{2}$，
∴△OAB的面积S=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{2}+4）•\sqrt{2}$=2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，比较基础．