Question

8．函数f（x）=$\frac{x}{x-1}$在区间[2，5]上的最大值与最小值的差记为f_max-min，若f_max-min+a²-2a≤0恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• B． [1，2]
• C． [0，1]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 求出f（x）的单调性，计算f（x）的最值，问题转化为a²-2a+$\frac{3}{4}$≤0恒成立，解出即可．

解答 解：f（x）=$\frac{x}{x-1}$=1+$\frac{1}{x-1}$在区间[2，5]上单调递减，
∴f（x）_max=f（2）=2，f（x）_min=f（5）=$\frac{5}{4}$，
f_max-min+a²-2a≤0恒成立，
即a²-2a+$\frac{3}{4}$≤0恒成立，
解得：$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{3}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查求函数的最值问题，是一道基础题．