Question

20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，短轴的一个端点为（0，$\sqrt{3}$）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线 l的斜率存在，且与椭圆C相交于A、B两点（A、B异于顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，b=$\sqrt{3}$，根据椭圆的性质，即可求得a和c的值，求得椭圆的标准方程；
（2）将直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得k_AD•k_BD=-1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．

解答 解：（1）由题意可知：设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，b=$\sqrt{3}$，
由a²=b²+c²，解得：a=2，c=1，
椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），右顶点为D，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化为3+4k²＞m²．
∴x₁+x₂=$\frac{-8mk}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁•x₂+mk（x₁+x₂）+m²=$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k_AD•k_BD=-1，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{16mk}{3+4{k}^{2}}$+4=0．
化为7m²+16mk+4k²=0，解得m₁=-2k，m₂=-$\frac{2k}{7}$，
当m₁=-2k，时，直线l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0）矛盾；
当m₂=-$\frac{2k}{7}$时，直线l的方程为y=k（x-$\frac{2}{7}$），直线过定点（$\frac{2}{7}$，0）．
∴直线过定点（$\frac{2}{7}$，0）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．