Question

已知函数f(x)=x-

2

x

+a(2-lnx)，(a＞0)，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：先求出函数的定义域，然后求出导函数f′(x)=1+

2

x2

-

a

x

=

x2-ax+2

x2

，设g（x）=x²-ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a²-8，然后讨论△的正负，再进一步考虑导函数的符号，从而求出函数的单调区间．

解答：解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′(x)=1+

2

x2

-

a

x

=

x2-ax+2

x2

．
设g（x）=x²-ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a²-8．
①当△=a²-8＜0，即0＜a＜2

2

时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②当△=a²-8=0，即a=2

2

时，仅对x=

2

有f′（x）=0，对其余的x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数．
③当△=a²-8＞0，即a＞2

2

时，
方程g（x）=0有两个不同的实根x1=

a- a2-8

2

，x2=

a+ a2-8

2

，0＜x₁＜x₂．

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	_	0	+
f（x）	单调递增↗	极大	单调递减↘	极小	单调递增

此时f（x）在(0，

a- a2-8

2

)上单调递增，在(

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

)是上单调递减，在(

a+ a2-8

2

，+∞)上单调递增．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．