Question

已知点的序列A_n（x_n，0），n∈N，其中，x₁=0，x₂=a（a＞0），A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n－2A_n－1的中点，……

（Ⅰ）写出x_n与x_n－1、x_n－2之间的关系式（n≥3）；

（Ⅱ）设a_n=x_n＋1－x_n计算a₁，a₂，a₃，由此推测数列｛a_n｝的通项公式，并加以证明；

（Ⅲ）求x_n．

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：当n≥3时，xn=． （Ⅱ）解：a1=x2－x1=a，a2=x3－x2= 由此推测an=（）n－1a（n∈N*）. 用数学归纳法证明. （ⅰ）当n=1时，a1=x2－x1=a=（）0a，公式成立． （ⅱ）假设当n=k时，公式成立，即ak=（）k－1a成立. 那么当n=k＋1时， ，公式仍成立． 根据（ⅰ）与（ⅱ）可知，对任意n∈N，公式an=（）n－1a成立． （Ⅲ）解：当n≥3时，有xn=（xn－xn－1）＋（xn－1－xn－2）＋…＋（x2－x1）＋x1 =an－1＋an－2＋…＋a1， 由（Ⅱ）知｛an｝是公比为的等比数列，∴．