Question

3．在△ABC中，若sin（C-B）=1，sinA=$\frac{1}{3}$，BC=$\sqrt{6}$，则△ABC的面积为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由sin（C-B）=1，B，C∈（0，π）．可得C-B=$\frac{π}{2}$．可知B为锐角．由于sinA=$\frac{1}{3}$，可得sin（B+C）=$\frac{1}{3}$，再利用倍角公式可得cosB，sinB．sinC=$sin（B+\frac{π}{2}）$=cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
再利用正弦定理可得b，c，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：∵sin（C-B）=1，B，C∈（0，π）．
∴C-B=$\frac{π}{2}$．可知B为锐角．
∵sinA=$\frac{1}{3}$，
∴sin（B+C）=$\frac{1}{3}$，
∴$sin（2B+\frac{π}{2}）$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$=cos2B=2cos²B-1，
解得cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．sinC=$sin（B+\frac{π}{2}）$=cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{3}}$=3$\sqrt{2}$，
c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{1}{3}}$=6．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×6×\frac{1}{3}$=3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦定理、三角形面积计算公式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．