Question

7．设圆M过点A（0，2），且圆心M在曲线C：x²=4y上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时．弦长|EG|是否为定值？为什么？

Answer 1

分析 待定系数法设出圆的方程，设出圆与x轴的两个交点E，G的坐标，再由韦达定理和弦长公式，再根据圆心在抛物线上，将圆心坐标代入抛物线，两个式子联立可求出|x₁-x₂|是否为定值．

解答 解：设圆的圆心为M（a，b），
∵圆M过A（0，2），
∴圆的方程为 （x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，
令y=0得：x²-2ax+4b-4=0，
设圆与x轴的两交点分别为（x₁，0），（x₂，0），
x₁+x₂=2a，x₁x₂=4b-4，
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{4{a}^{2}-16b+16}$，
又∵点M（a，b）在抛物线x²=4y上，
∴a²=4b，
∴$\sqrt{16b-16b+16}$=4，
即|EG|=4，
∴当M运动时，弦长|EG|为定值4．

点评 本题考查圆与抛物线相交关系的应用，考查了圆的定义，以及运算能力，属于中档题．