Question

已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f （x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+ax．
（1）当a=2时，求f （x）的极小值；
（2）若函数g（x）=x³+bx²-（2b+4）x+ln x （b∈R）的极小值点与f （x）的极小值点相同．
求证：g（x）的极大值小于等于

5

4

．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，利用导数画出表格，求出函数的极值
（2）根据f（x）的极值求出函数g（x）关系式从而证明函数g（x）的极大值小于

5

4

解答：解：（Ⅰ）解：当a=2时，f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）．
列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以，f（x）的极小值为f（2）=

2

3

．（6分）
．（5分）
（Ⅱ）解：f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
g′（x）=3x²+2bx-（2b+4）+

1

x

=

(x-1)[3x2+(2b+3)x-1]

x

．
令p（x）=3x²+（2b+3）x-1，
（1）当1＜a≤2时，
f（x）的极小值点x=a，则g（x）的极小值点也为x=a，
所以p（a）=0，
即3a²+（2b+3）a-1=0，
即b=

1-3a2-3a

2a

，
此时g（x）_极大值=g（1）=1+b-（2b+4）=-3-b
=-3+

3a2+3a-1

2a

=

3

2

a-

1

2a

-

3

2

．
由于1＜a≤2，
故

3

2

a-

1

2a

-

3

2

≤

3

2

   x2-

1

4

-

3

2

=

5

4

．（10分）
（2）当0＜a＜1时，
f（x）的极小值点x=1，则g（x）的极小值点为x=1，
由于p（x）=0有一正一负两实根，不妨设x₂＜0＜x₁，
所以0＜x₁＜1，
即p（1）=3+2b+3-1＞0，
故b＞-

5

2

．
此时g（x）的极大值点x=x₁，
有g（x₁）=x₁³+bx₁²-（2b+4）x₁+lnx₁
＜1+bx₁²-（2b+4）x₁
=（x₁²-2x₁）b-4x₁+1　（x₁²-2x₁＜0）
＜-

5

2

（x₁²-2x₁）-4x₁+1
=-

5

2

x₁²+x₁+1
=-

5

2

（x₁-

1

5

）²+1+

1

10

（0＜x₁＜1）
≤

11

10

，＜

5

4

．
综上所述，g（x）的极大值小于等于

5

4

．（14分）

点评：本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值