Question

2．已知二次函数y=ax²+bx+c（α≠0）同时满足：
①当x=0和x=2时，y值相同；
②函数的最小值是-8；
③ax²+bx+c=0的两根平方和等于10．
求二次函数的解析式．

Answer 1

分析 由条件可得二次函数的对称轴x=1，及顶点（1，-8），且a＞0，再由韦达定理，得到a，b，c的关系，解方程可得f（x）的解析式．

解答 解：由①可得x=1为二次函数的对称轴，
由②可得顶点为（1，-8），且a＞0，
设ax²+bx+c=0的两根为m，n，
则m+n=2，
m+n=-$\frac{b}{a}$，mn=$\frac{c}{a}$，
由③，可得m²+n²=10，
即（m+n）²-2mn=10，
即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{2c}{a}$=10，①
a+b+c=-8，②
又-$\frac{b}{a}$=2③
由①②③解得a=2，b=-4，c=-6．
即有f（x）的解析式为f（x）=2x²-4x-6．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，考查韦达定理的运用，以及化简运算求解能力，属于中档题．