Question

已知函数f（x）=2ax³+bx²﹣6x在x=±1处取得极值
（1）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）试求函数f（x）在x=﹣2处的切线方程；
（3）试求函数f（x）在区间[﹣3，2]上的最值

Answer 1

（1）f'（x）=6ax²+2bx﹣6，在x=1处取得极值，
则f′（1）=6a+2b﹣6=0； 在x=﹣1处取得极值，
则f′（﹣1）=6a﹣2b﹣6=0； 解得a=1；b=0；
∴f（x）=2x³﹣6x； f′（x）=6x²﹣6，由f′（x）=6x²﹣6=0，得x=±1．
列表：


（2）f′（﹣2）=6×2²﹣6=18；在x=﹣2处的切线斜率为18；
而f（﹣2）=2x³﹣6x=﹣4；∴切线方程y=18x+32；
（3）f（x）=2x³﹣6x；f′（x）=6x2﹣6；
使f′（x）=6x2﹣6=0，得x=±1，
已经知道了f（1）=﹣4是极小值，f（﹣1）=4是极大值，
下面考察区间端点：f（2）=2x3﹣6x=4；f（﹣3）=2x3﹣6x=﹣36
∴最大值是f（﹣1）=f（2）=4；最小值是f（﹣3）=﹣36．