Question

已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

x

=(a，2cosB)，

y

=(2cosA，b)，满足

x

∥

y

，且△ABC外接圆半径为1．
（1）求sinA+sinB的取值范围；
（2）若实数k满足k=

a+b

ab

，试确定k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由两个向量共线的性质可得 ab=4cosAcosB，再由正弦定理可得4sinAsinB=4cosAcosB，化简求得 A+B=

π

2

．由 sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

=

2

cos

A-B

2

，
以及

A-B

2

∈（-

π

4

，

π

4

），求出sinA+sinB的取值范围．
（2）由实数k满足k=

a+b

ab

=

1

2cosA

+

1

2sinA

，A为直角三角形的一个锐角，可得

1

2cosA

＞

1

2

，

1

2sinA

＞

1

2

，由此求得 k的取值范围．

解答：解：（1）由

x

∥

y

，且△ABC外接圆半径为1，可得

a

2cosA

=

2cosB

b

，∴ab=4cosAcosB．
再由正弦定理可得 a=2r•sinA=2sinA，同理可得b=2sinB．
∴4sinAsinB=4cosAcosB，化简可得cos（A+B）=0，∴A+B=

π

2

．
由 sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

=

2

cos

A-B

2

，

A-B

2

∈（-

π

4

，

π

4

），可得

2

2

＜cos

A-B

2

≤1，∴1＜

2

cos

A-B

2

≤

2

，
故sinA+sinB的取值范围是（1，

2

]．
（2）∵实数k满足k=

a+b

ab

=

2sinA+2sinB

2sinA•2sinB

=

sinA+cosA

2sinAcosA

=

1

2cosA

+

1

2sinA

，A为直角三角形的一个锐角，
∴

1

2cosA

＞

1

2

，

1

2sinA

＞

1

2

，∴k＞1．
综上可得 k的取值范围（1，+∞）．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理的应用，角三角形中的边角关系的应用，诱导公式的应用，属于中档题．