Question

已知函数，若f（x）的最大值为1
（1）求m的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若f（B）=-1，且a=b+c，试判断三角形的形状．

Answer 1

解：∵（1）函数=2sin2xcos+cos2x-m=2sin（2x+）-m．
f（x）的最大值为1，故有 2-m=1，∴m=1．
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
（2）在△ABC中，∵f（B）=-1，∴2sin（2B+）-1=，即 sin（2B+）=，∴B=．
又 a=b+c，∴sinA=sinB+sinC=+sin（-A），化简可得 sin（A-）=，∴A=，C=，
故△ABC为直角三角形．
分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式2sin（2x+）-m，由f（x）的最大值为1，求得m的值，从而求得函数的增区间．
（2）在△ABC中，由 f（B）=-1求得B的值，再由a=b+c，可得 sin（A-）=，从而求得 A的值，进而求得C的值，从而判断三角形的形状．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，根据三角函数的值求角，属于中档题．