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从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出a, bn的表达式;
(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
解:(1)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1-)万元,…第n年投入为800×(1-)n-1万元,所以,n年内的总投入为
=800+800×(1-)+…+800×(1-)n-1==4000×[1-()n
第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+),…,第n年旅游业收入400×(1+)n-1万元.所以,n年内的旅游业总收入为
=400+400×(1+)+…+400×(1+)n-1==1600×[()n-1]
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此>0,即:
1600×[()n-1]-4000×[1-()n]>0,令x=()n,代入上式得:5x2-7x+2>0.解此不等式,得x,或x>1(舍去).即()n,由此得n≥5.
∴至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.
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