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已知椭圆的右焦点为 为椭圆的上顶点,为坐标原点,且两焦点和短轴的两端构成边长为的正方形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在直线交与椭圆于,且使,使得的垂心,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.

(1) ;(2).

解析试题分析:(1)利用正方形的性质,椭圆的性质;(2)由直线的方程于椭圆的方程组成方程组,消去,由综合求得.
试题解析:(1)由两焦点与短轴的两端点构成边长为的正方形,则
所以椭圆方程为.            (4分)
(2)假设存在直线交椭圆于两点,且使的垂心,设
,则,故直线的斜率,∴设直线的方程为
,由题意知,即,      (7分)
,由题意应有

,                    (9分)

解得,经检验,当时,不存在,故舍去
∴当时,所求直线方程为满足题意,
综上所述,存在直线,且直线的方程为,             (14分)
考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若点为曲线上一点,试探究直线:与曲线是否存在交点? 若存在,求出交点坐标;若不存在,请说明理由.

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若椭圆C:的离心率e为, 且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合.
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 设点M(2,0), 点Q是椭圆上一点, 当|MQ|最小时, 试求点Q的坐标;
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