已知、是椭圆的左、右焦点,且离心率,点为椭圆上的一个动点,的内切圆面积的最大值为.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若是椭圆上不重合的四个点,满足向量与共线,与共
线,且,求的取值范围.
(1);(2)
解析试题分析:本小题主要通过对直线与圆锥曲线中椭圆的综合应用的考查,具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识,提示考生对圆锥曲线的综合题加以重视,本题主要考查考生的推理论证能力,运算求解能力、化归与转化以及数形结合的数学思想.(1)利用方程思想和几何性质,得到含有的两个等量关系,进而利用待定系数法求解椭圆方程;(2)通过直线与方程联立,借助韦达定理和弦长公式将进行表示为含有的函数关系式,利用换元法和二次函数求值域的思路寻求范围.
试题解析:(1)由几何性质可知:当内切圆面积取最大值时,
即取最大值,且.
由得
又为定值,,
综上得;
又由,可得,即,
经计算得,,,
故椭圆方程为. (5分)
(2) ①当直线与中有一条直线垂直于轴时,.
②当直线斜率存在但不为0时,设的方程为:,由消去
可得,代入弦长公式得: ,
同理由消去可得,
代入弦长公式得:,
所以
令,则,所以,
由①②可知,的取值范围是. (12分)
考点:(1)椭圆方程;(2)直线与椭圆的位置关系;(3)函数的值域.
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如图,已知椭圆:的离心率为,以椭圆的左顶点为圆心作圆:,设圆与椭圆交于点与点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆的方程;
(3)设点是椭圆上异于,的任意一点,且直线分别与轴交于点,为坐标原点,
求证:为定值.
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已知椭圆,为其右焦点,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点,问是否存在直线,使与椭圆交于两点,且.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆的方程;
(II)直线与椭圆交于,两点,且线段的垂直平分线经过点,求(为原点)面积的最大值.
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已知椭圆的右焦点为 ,为椭圆的上顶点,为坐标原点,且两焦点和短轴的两端构成边长为的正方形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在直线交与椭圆于, ,且使,使得为的垂心,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
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如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.
(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1—C2型点”;
(3)求证:圆内的点都不是“C1—C2型点”.
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已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点C(-1,0)且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点,试问在轴上是否存在点,使是与无关的常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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已知抛物线C:与椭圆共焦点,
(Ⅰ)求的值和抛物线C的准线方程;
(Ⅱ)若P为抛物线C上位于轴下方的一点,直线是抛物线C在点P处的切线,问是否存在平行于的直线与抛物线C交于不同的两点A,B,且使?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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