如图,已知曲线,曲线
,P是平面上一点,若存在过点P的直线与
都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.
(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线与
有公共点,求证
,进而证明原点不是“C1—C2型点”;
(3)求证:圆内的点都不是“C1—C2型点”.
(1) C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为;
(2)直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.
(3)直线若与圆
内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,
即圆内的点都不是“C1-C2型点”.
解析试题分析:
思路分析:(1)紧扣“C1-C2型点”的定义,确定C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为;
(2)通过研究直线与C2有交点的条件,分别得到
和
,不可能同时成立,得到结论:直线
至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.
(3)显然过圆内一点的直线
若与曲线C1有交点,则斜率必存在;
根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点
,则
根据直线与圆
内部有交点,得到
化简得,............①
再根据直线与曲线C1有交点, 由方程组
化简得,.....②
由①②得,
但此时,因为,即①式不成立;
当时,①式也不成立 ,得出结论。
解:(1)C1的左焦点为,过F的直线
与C1交于
,与C2交于
,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为
;
(2)直线与C2有交点,
则,若方程组有解,则必须
;
直线与C2有交点,则
,若方程组有解,则必须
故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.
(3)显然过圆内一点的直线
若与曲线C1有交点,则斜率必存在;
根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点
,则
直线与圆
内部有交点,故
化简得,............①
若直线与曲线C1有交点,则
化简得,.....②
由①②得,
但此时,因为,即①式不成立;
当时,①式也不成立
综上,直线若与圆
内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,
即圆内的点都不是“C1-C2型点”.
考点:新定义问题,直线与圆的位置关系,直线与双曲线的位置关系,一元二次不等式的解法。
点评:难题,本题综合性较强,综合考查直线与圆、双曲线的位置关系以及不等式问题。从思路方面讲,要紧扣“C1-C2型点”的定义,研究方程组解的情况。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆的左右顶点分别为
,离心率
.过该椭圆上任一点
作
轴,垂足为
,点
在
的延长线上,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点的轨迹
的方程;
(3)设直线(
点不同于
)与直线
交于点
,
为线段
的中点,试判断直线
与曲线
的位置关系,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆C: 的左、右焦点分别为
,离心率为
,点A是椭圆上任一点,
的周长为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点任作一动直线l交椭圆C于
两点,记
,若在线段
上取一点R,使得
,则当直线l转动时,点R在某一定直线上运动,求该定直线的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知△的两个顶点
的坐标分别是
,且
所在直线的斜率之积等于
.
(Ⅰ)求顶点的轨迹
的方程,并判断轨迹
为何种圆锥曲线;
(Ⅱ)当时,过点
的直线
交曲线
于
两点,设点
关于
轴的对称
点为(
不重合) 试问:直线
与
轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知、
是椭圆
的左、右焦点,且离心率
,点
为椭圆上的一个动点,
的内切圆面积的最大值为
.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若是椭圆上不重合的四个点,满足向量
与
共线,
与
共
线,且,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,为半圆,
为半圆直径,
为半圆圆心,且
,
为线段
的中点,已知
,曲线
过
点,动点
在曲线
上运动且保持
的值不变.
(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线的方程;
(II)过点的直线
与曲线
交于
两点,与
所在直线交于
点,
,
证明:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(13分)已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点
.
(I)求椭圆C的离心率:
(II)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且,求点Q的轨迹方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
以原点为极点,以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
,过点
的直线
的参数方程为
,设直线
与曲线
分别交于
;
(1)写出曲线和直线
的普通方程;
(2)若成等比数列,求
的值.
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