如图,为半圆,为半圆直径,为半圆圆心,且,为线段的中点,已知,曲线过点,动点在曲线上运动且保持的值不变.
(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线的方程;
(II)过点的直线与曲线交于两点,与所在直线交于点,,证明:为定值.
(1);(2).
解析试题分析:(1)根据题意建立适当的坐标系,以为坐标原点,因为的值不变,所以会想到椭圆的定义,根据椭圆的定义,需要知道的值,易知,故椭圆的基本量就能很快求出,从而求出最终椭圆的标准方程.(2)圆锥曲线与向量的综合,最好使用点的坐标表示,可以根据题意设出的坐标,利用,的关系,反求出(含)的坐标代入到椭圆方程中,得到,,可见是方程的两个根,故.还可以利用联立方程组的方法,但稍微复杂一点,具体过程见解答.
试题解析:(1)以为原点,所在直线分别为轴,轴,建立平面直角坐标系.
因为动点在曲线上运动且保持的值不变,而点也在曲线上,
所以,满足椭圆的定义,
故曲线是以原点为中心,为焦点的椭圆.
则,,
所以曲线的标准方程为
(2)
解法一:设而不求法
设的坐标分别为,则
,
带入到得
化简,得
同理由,得
是方程的两个根
解法二:联立方程组法
设点的坐标分别为,
易知点的坐标为.且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交.
显然直线 的斜率存在,设直线 的斜率为 ,则直线 的方程是
将直线 的方程代入到椭圆 的方程中,消去 并整理得
.
∴,
又 ∵, 则.∴,
同理,由,∴
∴ .
考点:1.圆锥曲线的定义,标准方程的求解;2.向量与圆锥曲线的综合性问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知动圆C经过点,且在x轴上截得弦长为2,记该圆圆心的轨迹为E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)过点的直线m交曲线E于A,B两点,过A,B两点分别作曲线E的切线,两切线交于点C,当△ABC的面积为时,求直线m的方程.
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已知是椭圆的右焦点,圆与轴交于两点,是椭圆与圆的一个交点,且.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)过点与圆相切的直线与的另一交点为,且的面积等于,求椭圆的方程.
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在直角坐标平面内,y轴右侧的一动点P到点的距离比它到轴的距离大
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设为曲线上的一个动点,点,在轴上,若为圆的外切三角形,求面积的最小值.
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如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.
(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1—C2型点”;
(3)求证:圆内的点都不是“C1—C2型点”.
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如图,在平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为,离心率为.分别过,的两条弦,相交于点(异于,两点),且.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:直线,的斜率之和为定值.
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在平面直角坐标系中,已知,直线, 动点到的距离是它到定直线距离的倍. 设动点的轨迹曲线为.
(1)求曲线的轨迹方程.
(2)设点, 若直线为曲线的任意一条切线,且点、到的距离分别为,试判断是否为常数,请说明理由.
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