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如图,为半圆,为半圆直径,为半圆圆心,且为线段的中点,已知,曲线点,动点在曲线上运动且保持的值不变.
(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线的方程;
(II)过点的直线与曲线交于两点,与所在直线交于点,证明:为定值.

(1);(2).

解析试题分析:(1)根据题意建立适当的坐标系,以为坐标原点,因为的值不变,所以会想到椭圆的定义,根据椭圆的定义,需要知道的值,易知,故椭圆的基本量就能很快求出,从而求出最终椭圆的标准方程.(2)圆锥曲线与向量的综合,最好使用点的坐标表示,可以根据题意设出的坐标,利用的关系,反求出(含)的坐标代入到椭圆方程中,得到,可见是方程的两个根,故.还可以利用联立方程组的方法,但稍微复杂一点,具体过程见解答.
试题解析:(1)以为原点,所在直线分别为轴,轴,建立平面直角坐标系.
因为动点在曲线上运动且保持的值不变,而点也在曲线上,
所以,满足椭圆的定义,
故曲线是以原点为中心,为焦点的椭圆.

所以曲线的标准方程为
(2)

解法一:设而不求法
的坐标分别为,则

带入到
化简,得
同理由,得
是方程的两个根

解法二:联立方程组法
点的坐标分别为
易知点的坐标为.且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交.
显然直线  的斜率存在,设直线 的斜率为 ,则直线  的方程是
将直线  的方程代入到椭圆  的方程中,消去  并整理得


又 ∵, 则.∴
同理,由,∴
 .
考点:1.圆锥曲线的定义,标准方程的求解;2.向量与圆锥曲线的综合性问题.

练习册系列答案
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(1)求椭圆的方程;
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