在平面直角坐标系中,已知,直线, 动点到的距离是它到定直线距离的倍. 设动点的轨迹曲线为. (1)求曲线的轨迹方程. (2)设点, 若直线为曲线的任意一条切线,且点.到的距离分别为,试判断是否为常数,请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在平面直角坐标系中,已知,直线, 动点到的距离是它到定直线距离的倍. 设动点的轨迹曲线为.
（1）求曲线的轨迹方程.
（2）设点, 若直线为曲线的任意一条切线,且点、到的距离分别为,试判断是否为常数,请说明理由.

（1）（2）是常数

解析试题分析：解: （1）由题意,设点,则有,点到直线的距离,故,化简后得: .
故动点的轨迹方程为
（2）是常数,证明如下:
若切线斜率不存在,则切线方程为,此时
当切线斜率存在时,设切线:,代入,整理得:

,化简得:
又由:, ,
=常数.
综上,故对任意切线,是常数
考点：双曲线的方程
点评：关于曲线的大题，第一问一般是求出曲线的方程，第二问常与直线结合起来，当涉及到交点时，常用到根与系数的关系式：（）。

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