Question

已知是椭圆的右焦点，圆与轴交于两点，是椭圆与圆的一个交点，且.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过点与圆相切的直线与的另一交点为，且的面积等于，求椭圆的方程.

Answer 1

①. ②. .

解析试题分析：（Ⅰ）利用圆及椭圆方程求出点 的坐标, 利用圆的几何性质及条件，计算出 ,再利用勾股定理建立 之间的方程,求出离心率. （Ⅱ）由（Ⅰ）问中的离心率值化简椭圆方程,利用圆的切线性质确定直线 的斜率,写出直线方程,再与椭圆方程联立,求出 的底边长 及高,建立面积等式求出 .
试题解析：（Ⅰ）由题意，，，，
∵，
得，
由，
得，
即椭圆的离心率                     （4分）

（Ⅱ）的离心率，令，，则
直线，设
由   得，
又点到直线的距离，
的面积，
解得
故椭圆………（12分）
考点：1.椭圆的定义;2.离心率;3.圆的几何性质;4.直线与椭圆位置关系.