如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，
，直线
与线段
、
分别交于点
、
.
（1）当
时，求以
为焦点，且过
中点的椭圆的标准方程；
（2）过点作直线
交
于点
，记
的外接圆为圆
.
①求证:圆心在定直线
上；
②圆是否恒过异于点
的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.
(1)
(2)①略②
.
解析试题分析：(1)根据题意，
，
，求出
，可得到方程；(2)①解法一：根据题意写出
的坐标，线段
的中垂线的交点就是圆心，将圆心坐标代入中，可得证；解法二：设出一般方程，将三点的坐标代入，联立求解；②根据①，写出圆系方程
，联立方程
解得该定点.
试题解析：(1)设椭圆的方程为
,
当时, 的中点为
，则 1分
而
,所以
， 2分
故椭圆的标准方程为 3分
(Ⅱ)①解法一:易得直线
，直线
可得
,再由,得
5分
则线段
的中垂线方程为
, 6分
线段
的中垂线方程为
, 7分
由
, 8分
解得的外接圆的圆心坐标为
9分
经验证,该圆心在定直线上 10分
②由①可得圆C的方程为
11分
该方程可整理为
,
则由,解得
或
, 13分
所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为 14分
解法二: 易得直线，直线 5分
所以可得, 6分
再由<
小学夺冠AB卷系列答案
ABC考王全优卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C的中心在原点，焦点F在
轴上，离心率
，点
在椭圆C上.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若斜率为
的直线
交椭圆与
、
两点，且
、、
成等差数列，点M（1,1），求
的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在
轴上，且过点
.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）与圆
相切的直线
交抛物线于不同的两点
若抛物线上一点
满足
，求
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C长轴的两个顶点为A（－2，0），B（2，0），且其离心率为
.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若N是直线x=2上不同于点B的任意一点，直线AN与椭圆C交于点Q，设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M（异于点B），求证：直线NM经过定点．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
抛物线
与直线
相切，
是抛物线上两个动点，
为抛物线的焦点，
的垂直平分线
与
轴交于点
，且
.
（1）求
的值;
（2）求点的坐标;
（3）求直线的斜率
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线
的参数方程为
(t为参数，0<a<
)，曲线C的极坐标方程为
．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知动圆C经过点
，且在x轴上截得弦长为2，记该圆圆心的轨迹为E.
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）过点
的直线m交曲线E于A，B两点，过A，B两点分别作曲线E的切线，两切线交于点C，当△ABC的面积为
时，求直线m的方程.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知
是椭圆
的右焦点，圆
与
轴交于
两点，
是椭圆
与圆
的一个交点，且
.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过点与圆相切的直线
与的另一交点为
，且
的面积等于
，求椭圆的方程.
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：
的长轴长为4，且过点
．
、
、
是椭圆上的三点，若
，点
为线段
的中点，
、
两点的坐标分别为
、
，求证：
．