如图,在平面直角坐标系中,已知,,,直线与线段、分别交于点、.
(1)当时,求以为焦点,且过中点的椭圆的标准方程;
(2)过点作直线交于点,记的外接圆为圆.
①求证:圆心在定直线上;
②圆是否恒过异于点的一个定点?若过,求出该点的坐标;若不过,请说明理由.
(1)(2)①略②.
解析试题分析:(1)根据题意,,,求出,可得到方程;(2)①解法一:根据题意写出的坐标,线段的中垂线的交点就是圆心,将圆心坐标代入中,可得证;解法二:设出一般方程,将三点的坐标代入,联立求解;②根据①,写出圆系方程,联立方程解得该定点.
试题解析:(1)设椭圆的方程为,
当时, 的中点为,则 1分
而,所以, 2分
故椭圆的标准方程为 3分
(Ⅱ)①解法一:易得直线,直线
可得,再由,得 5分
则线段的中垂线方程为, 6分
线段的中垂线方程为, 7分
由, 8分
解得的外接圆的圆心坐标为 9分
经验证,该圆心在定直线上 10分
②由①可得圆C的方程为 11分
该方程可整理为,
则由,解得或, 13分
所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为 14分
解法二: 易得直线,直线 5分
所以可得, 6分
再由<
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已知椭圆C的中心在原点,焦点F在轴上,离心率,点在椭圆C上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若斜率为的直线交椭圆与、两点,且、、成等差数列,点M(1,1),求的最大值.
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已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,且过点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)与圆相切的直线交抛物线于不同的两点若抛物线上一点满足,求的取值范围.
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已知椭圆C长轴的两个顶点为A(-2,0),B(2,0),且其离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若N是直线x=2上不同于点B的任意一点,直线AN与椭圆C交于点Q,设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M(异于点B),求证:直线NM经过定点.
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抛物线与直线相切,是抛物线上两个动点,为抛物线的焦点,的垂直平分线与轴交于点,且.
(1)求的值;
(2)求点的坐标;
(3)求直线的斜率的取值范围.
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以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为 (t为参数,0<a<),曲线C的极坐标方程为.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当a变化时,求|AB|的最小值.
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已知动圆C经过点,且在x轴上截得弦长为2,记该圆圆心的轨迹为E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)过点的直线m交曲线E于A,B两点,过A,B两点分别作曲线E的切线,两切线交于点C,当△ABC的面积为时,求直线m的方程.
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已知是椭圆的右焦点,圆与轴交于两点,是椭圆与圆的一个交点,且.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)过点与圆相切的直线与的另一交点为,且的面积等于,求椭圆的方程.
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