Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点F在轴上，离心率，点在椭圆C上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为的直线交椭圆与、两点，且、、成等差数列，点M（1,1），求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

解析试题分析：(1)设出椭圆标准方程，根据已知条件解出即可；（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为，A,B点坐标为,联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得，然后利用直线的斜率依次成等差数列得出，又，所以，即，然后求出弦长，计算三角形面积，求其最大值.
试题解析：1)设椭圆方程为，由题意知
，…①
，…②
联立①②解得，，所以椭圆方程为        (4分)
2)由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为
满足，
消去得．
，
且，．
因为直线的斜率依次成等差数列，
所以，，即，
又，所以，
即．                                     (9分)
联立    易得弦AB的长为  
又点M到的距离 
所以
平方再化简求导易得时S取最大值        (13分)
考点：椭圆标准方程、椭圆的离心率、直线方程、等差数列、点到直线的距离公式.