已知椭圆长轴的左右端点分别为A,B,短轴的上端点为M,O为椭圆的中心,F为椭圆的右焦点,且·
=1,|
|=1.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线l交椭圆于P,Q两点,问:是否存在直线l,使得点F恰为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)椭圆方程为;(Ⅱ)满足题意的直线存在,方程为:
.
解析试题分析:(Ⅰ)求椭圆的标准方程,可采用待定系数法求方程, 设椭圆方程为,利用条件求
的值,从而得方程,因为|
|=1,即
,再由
·
=1,写出
,
的坐标,从而求出
的值,可得方程;(Ⅱ)此题属于探索性命题,解此类问题,一般都假设成立,作为条件,能求出值,则成立,若求不出值,或得到矛盾的结论,则不存在,此题假设存在直线
符合题意,设出直线方程,根据直线与二次曲线位置关系的解题方法,采用设而不求的解题思维,设
的坐标,根据根与系数关系,来求出直线方程,值得注意的是,当方程不恒有交点时,需用判别式讨论参数的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)设椭圆方程为,
,所以
,又因为
,所以
,则椭圆方程为
;
(Ⅱ)假设存在直线符合题意。由题意可设直线
方程为:
,代入
得:
,
,设
,则
,
,
解得:
或
, 当
时,
三点共线,所以
,所以
,所以满足题意的直线存在,方程为:
.
考点:本题考查椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,考查学生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知三点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)。
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
(2)设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为,求以
为焦点且过
点的双曲线的标准方程。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是抛物线
上的点,
是
的焦点, 以
为直径的圆
与
轴的另一个交点为
.
(Ⅰ)求与
的方程;
(Ⅱ)过点且斜率大于零的直线
与抛物线
交于
两点,
为坐标原点,
的面积为
,证明:直线
与圆
相切.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心在原点,焦点F在轴上,离心率
,点
在椭圆C上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若斜率为的直线
交椭圆
与
、
两点,且
、
、
成等差数列,点M(1,1),求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线(a>0,b>0)的离心率
,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离是
.
(Ⅰ)求双曲线的方程及渐近线方程;
(Ⅱ)若直线y=kx+5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D,且两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
抛物线M: 的准线过椭圆N:
的左焦点,以坐标原点为圆心,以t(t>0)为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的部分以及y轴的正半轴相交于点A与点B,直线AB与x轴相交于点C.
(1)求抛物线M的方程.
(2)设点A的横坐标为x1,点C的横坐标为x2,曲线M上点D的横坐标为x1+2,求直线CD的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为
(t为参数,0<a<
),曲线C的极坐标方程为
.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当a变化时,求|AB|的最小值.
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