已知点,
是抛物线
上相异两点,且满足
.
(Ⅰ)若的中垂线经过点
,求直线
的方程;
(Ⅱ)若的中垂线交
轴于点
,求
的面积的最大值及此时直线
的方程.
(Ⅰ)(Ⅱ)
.
解析试题分析:(Ⅰ) 利用导数分析单调性,进而求最值;(Ⅱ)利用不等式的放缩和数列的裂项求和
试题解析:(I)方法一
(I)当垂直于
轴时,显然不符合题意,
所以可设直线的方程为
,代入方程
得:
∴ 得:
2分
∴直线的方程为
∵中点的横坐标为1,∴
中点的坐标为
4分
∴的中垂线方程为
∵的中垂线经过点
,故
,得
6分
∴直线的方程为
7分
(Ⅱ)由(I)可知的中垂线方程为
,∴
点的坐标为
8分
因为直线的方程为
∴到直线
的距离
10分
由 得,
,
12分
∴, 设
,则
,
,
,由
,得
在
上递增,在
上递减,当
时,
有最大值
得:时,
直线方程为
15分
(本题若运用基本不等式解决,也同样给分)
法二:
(Ⅰ)当垂直于
轴时,显然不符合题意,
当不垂直于
轴时,根据题意设
的中点为
,
则 2分
由、
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,点
为动点,
、
分别为椭圆
的左、右焦点.已知
为等腰三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆相交于
、
两点,
是直线
上的点,满足
,求点
的轨迹
方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆长轴的左右端点分别为A,B,短轴的上端点为M,O为椭圆的中心,F为椭圆的右焦点,且·
=1,|
|=1.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线l交椭圆于P,Q两点,问:是否存在直线l,使得点F恰为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
经过点且与直线
相切的动圆的圆心轨迹为
.点
在轨迹
上,且关于
轴对称,过线段
(两端点除外)上的任意一点作直线
,使直线
与轨迹
在点
处的切线平行,设直线
与轨迹
交于点
.
(1)求轨迹的方程;
(2)证明:;
(3)若点到直线
的距离等于
,且
的面积为20,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,焦距为
,且经过点
,直线
交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求的取值范围;,
(2)若直线不经过点
,求证:直线
的斜率互为相反数.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知,椭圆C过点,两个焦点为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是椭圆C上的两个动点,如果直线
的斜率与
的斜率互为相反数,证明直线
的斜率为定值,并求出这个定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆的左右顶点分别为
,离心率
.过该椭圆上任一点
作
轴,垂足为
,点
在
的延长线上,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点的轨迹
的方程;
(3)设直线(
点不同于
)与直线
交于点
,
为线段
的中点,试判断直线
与曲线
的位置关系,并证明你的结论.
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