在平面直角坐标系中,点
为动点,
、
分别为椭圆
的左、右焦点.已知
为等腰三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆相交于
、
两点,
是直线
上的点,满足
,求点
的轨迹
方程.
(1);(2)
.
解析试题分析:(1)先利用平面向量的数量积确定为钝角,从而得到当
时,必有
,根据两点间的距离公式列有关
、
、
的方程,求出
与
之间的等量关系,从而求出离心率的值;(2)先求出直线
的方程,与椭圆方程联立求出交点
、
的坐标,利用
以及
、
、
三点共线列方程组消去
,从而得出点
的轨迹方程.
试题解析:(1)设椭圆的焦距为
,则
,
,
,
,
,
,所以
为钝角,
由于为等腰三角形,
,
,即
,
即,整理得
,即
,
由于,故有
,即椭圆的离心率为
;
(2)易知点的坐标为
,则直线
的斜率为
,
故直线的方程为
,由于
,
,
故椭圆的方程为,即
,
将直线的方程代入椭圆方程并化简得
,解得
或
,
于是得到点,
,
(2)设点的坐标为
,由于点
在直线
上,所以
,
,
,
,
即,
整理得,即点
的轨迹方程为
.
考点:1.椭圆的方程;2.两点间的距离;3.平面向量的数量积;4.动点的轨迹方程
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知、
分别是椭圆
的左、右焦点,右焦点
到上顶点的距离为2,若
.
(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)点是椭圆的右顶点,直线
与椭圆交于
、
两点(
在第一象限内),又
、
是此椭圆上两点,并且满足
,求证:向量
与
共线.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线:
和⊙
:
,过抛物线
上一点
作两条直线与⊙
相切于
、
两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点
到抛物线准线的距离为
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当的角平分线垂直
轴时,求直线
的斜率;
(Ⅲ)若直线在
轴上的截距为
,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知三点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)。
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
(2)设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为,求以
为焦点且过
点的双曲线的标准方程。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆以坐标轴为对称轴,且经过点、
.记其上顶点为
,右顶点为
.
(1)求圆心在线段上,且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程;
(2)在椭圆位于第一象限的弧上求一点
,使
的面积最大.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为
.从这个圆上任意一点
向
轴作垂线
,
为垂足.
(Ⅰ)求线段中点
的轨迹方程;
(Ⅱ)已知直线与
的轨迹相交于
两点,求
的面积
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是抛物线
上的点,
是
的焦点, 以
为直径的圆
与
轴的另一个交点为
.
(Ⅰ)求与
的方程;
(Ⅱ)过点且斜率大于零的直线
与抛物线
交于
两点,
为坐标原点,
的面积为
,证明:直线
与圆
相切.
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