已知、
分别是椭圆
的左、右焦点,右焦点
到上顶点的距离为2,若
.
(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)点是椭圆的右顶点,直线
与椭圆交于
、
两点(
在第一象限内),又
、
是此椭圆上两点,并且满足
,求证:向量
与
共线.
(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)求此椭圆的方程,由题意
到上顶点的距离为2,即
,
,再由
,即可求出
,从而得椭圆的方程;(Ⅱ)求证:向量
与
共线,即证
,由于点
是椭圆的右顶点,可得
,直线
与椭圆交于
、
两点(
在第一象限内),可由
,解得
,得
,只需求出直线
的斜率,由题意
,而
与
的平分线平行,可得
的平分线垂直于
轴,设
的斜率为
,则
的斜率
;因此
和
的方程分别为:
、
;其中
;分别代入椭圆方程,得
的表达式,从而可得直线
的斜率,从而可证.
试题解析:(Ⅰ)由题知:
(Ⅱ)因为:,从而
与
的平分线平行,
所以的平分线垂直于
轴;
由不妨设
的斜率为
,则
的斜率
;因此
和
的方程分别为:
、
;其中
; 由
得;
,因为
在椭圆上;所以
是方程
的一个根;
从而; 同理:
;得
,
从而直线的斜率
;又
、
;所以
;所以
所以向量
与
共线.
考点:椭圆方程,直线与椭圆位置关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
的离心率为
,右焦点为
,右顶点
在圆
:
上.
(Ⅰ)求椭圆和圆
的方程;
(Ⅱ)已知过点的直线
与椭圆
交于另一点
,与圆
交于另一点
.请判断是否存在斜率不为0的直线
,使点
恰好为线段
的中点,若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为,点
是点
关于
轴的对称点,过点
的直线交抛物线于
两点。
(Ⅰ)试问在轴上是否存在不同于点
的一点
,使得
与
轴所在的直线所成的锐角相等,若存在,求出定点
的坐标,若不存在说明理由。
(Ⅱ)若的面积为
,求向量
的夹角;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,已知圆为圆上一动点,点
是线段
的垂直平分线与直线
的交点.
(1)求点的轨迹曲线
的方程;
(2)设点是曲线
上任意一点,写出曲线
在点
处的切线
的方程;(不要求证明)
(3)直线过切点
与直线
垂直,点
关于直线
的对称点为
,证明:直线
恒过一定点,并求定点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知曲线上任意一点
到直线
的距离是它到点
距离的
倍;曲线
是以原点为顶点,
为焦点的抛物线.
(Ⅰ)求,
的方程;
(Ⅱ)过作两条互相垂直的直线
,其中
与
相交于点
,
与
相交于点
,求四边形
面积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线,
、
是双曲线的左右顶点,
是双曲线上除两顶点外的一点,直线
与直线
的斜率之积是
,
求双曲线的离心率;
若该双曲线的焦点到渐近线的距离是,求双曲线的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角坐标系中,为坐标原点,如果一个椭圆经过点P(3,
),且以点F(2,0)为它的一个焦点.
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)在(1)中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,点
为动点,
、
分别为椭圆
的左、右焦点.已知
为等腰三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆相交于
、
两点,
是直线
上的点,满足
,求点
的轨迹
方程.
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