已知曲线
上任意一点
到直线
的距离是它到点
距离的
倍；曲线
是以原点为顶点，
为焦点的抛物线.
(Ⅰ)求,的方程；
(Ⅱ)过作两条互相垂直的直线
,其中
与相交于点
,
与相交于点
,求四边形
面积的取值范围.
(Ⅰ)
,
；(Ⅱ)
.
解析试题分析：(Ⅰ)求 曲线，则设该曲线上某点
，然后根据题目条件，得到关于
的方程，再化简即可得到.曲线可以根据抛物线的几何性质得到，为抛物线焦点，从而得到；(Ⅱ)用点斜式设出的方程为
，与抛物线方程联立，即可得到关于点坐标的方程.再根据韦达定理即得到
的长度.由题意可设的方程为
,代入可得关于点坐标的方程.再根据韦达定理即得到
的长度.因为
，从而四边形的面积为
，经化简，通过基本不等式即可得到四边形面积的取值范围为.
试题解析：(Ⅰ)设，则由题意有
,化简得:.
故的方程为，易知的方程为. 4分
(Ⅱ)由题意可设的方程为,代入得
,
设
,则
,
所以
. 7分
因为
,故可设的方程为,代入得
,设
,则
,
所以
. 10分
故四边形的面积为
(
)
设
，因此
,当且仅当
即
等号成立.
故四边形面积的取值范围为. 13分
考点：1.曲线与方程；2.抛物线的几何性质；3.直线与圆锥曲线的位置关系；4.基本不等式；5.函数的单调性.
千里马走向假期期末仿真试卷寒假系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
给定椭圆C：
，若椭圆C的一个焦点为F(
，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为
．
(I)求椭圆C的方程；
(II)已知斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点Q满足
且
=0，其中N为椭圆的下顶点，求直线在y轴上截距的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的方程为
，双曲线
的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点。
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线
与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且L与的两个焦点A和B满足
（其中O为原点），求
的取值范围。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的中心在原点
,离心率
,右焦点为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的上顶点为
,在椭圆上是否存在点
,使得向量
与
共线?若存在,求直线
的方程;若不存在,简要说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知
、
分别是椭圆
的左、右焦点，右焦点
到上顶点的距离为2，若
.
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）点
是椭圆的右顶点，直线
与椭圆交于
、
两点（在第一象限内），又
、
是此椭圆上两点，并且满足
，求证：向量
与
共线.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的焦点为
，
，且经过点
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设过的直线
与椭圆交于
、
两点，问在椭圆上是否存在一点
，使四边形
为平行四边形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
过点
，且离心率
。
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）若直线
与椭圆相交于
，
两点（
不是左右顶点），椭圆的右顶点为D，且满足
，试判断直线
是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知一个圆的圆心为坐标原点
，半径为
.从这个圆上任意一点
向
轴作垂线
，
为垂足.
（Ⅰ）求线段中点
的轨迹方程；
（Ⅱ）已知直线
与
的轨迹相交于
两点，求
的面积
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时，求k的值.